神奇的e

如果你有科学计算器，请尝试下面的实验.
1.在计算器上输入一个你喜欢的容易记住的7位数.
2.取这个数的倒数（按计算器上的$$\frac{1}{x}$$）.
3.在答案上加1。
4．现在将这个数字取原来7位数的幂（按下$$x^y$$键，然后是你的7位数，然后按=）。
你的答案是2.718开始的吗？
事实上，这一点都不惊奇，因为这是$$e=2.718281828459045\dotsb$$
的前面几位数。
这个神秘的e是什么？在你刚刚表演的魔术中，你计算过$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$.当n越来越大的时候，底数越来越小接近1，指数越来越大，在这场拔河中，答案越来越接近e.
n $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$
10 $$(1+\frac{1}{10})^{10}=2.5937424$$
100 $$(1+\frac{1}{100})^{100}=2.7048138$$

1000 $$(1+\frac{1}{1000}^{1000}=2.7129239$$
10000 $$(1+\frac{1}{10000}^{10000}=2.7181459$$

事实上，数列$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$是单调递增且有界，

$$\sqrt[n+1]{{1}\times{(1+\frac{1}{n})^n}}<\frac{1+{n}\times{(1+\frac{1}{n})}}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$$

即$$(1+\frac{1}{n})^n<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$$

且$$\sqrt[n]{\frac{1}{4}}=\sqrt[n+1]{{\frac{1}{2}}\times{\frac{1}{2}}\times{1^{n-2}}}<\frac{n-1}{n}<\frac{n}{n+1}$$

即$$(1+\frac{1}{n})^n<4$$

数学家定义
$$e=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n$$

$$\lim\limits{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x$$
指数公式有很多有趣的应用。
假设你把10000元存入一个储蓄储户，利率是0.06，
那么1年后你将得到10000(1.06),
2年后$$10000\times{1.06^2}$$
t年后$$10000\times{1.06^t}$$
如果按半年复利计算，那么1年后你将得到$$10000\times{1.03^2}$$
如果按季度复利计算，那么1年后你将得到$$10000\times{1.015^4}$$
更一般地，如果每年复利n次，那么1年后你就有
$$10000\times{(1+\frac{0.06}{n})^n}$$
连续复利你将得到越来越多的利息，会不会趋向于无穷，唉，这是不可能的！
因为$$10000\times{\lim\limits{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{0.06}{n})^n}=10000e^{0.06}=10618.36$$

由泰勒公式得，
$$e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots$$