斐波那契数列

1教材呈现

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2数学文化背景

斐波那契数最早出现在1202年由比萨的列奥纳多（后来被戏称为“斐波那契”）所著的《算盘全书》中有一个有趣的兔子繁殖问题：如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（假设也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生殖一对小兔子。假定这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12个月以后会有多少对兔子呢？解释说明为：第一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生殖了一对小兔子，共有1+1=2对兔子。第四个月：最初的一对兔子又生殖了一对兔子，共有2+1=3对兔子。则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， ……，后人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契，将这个兔子数列称为斐波那契数列，即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列称为斐波那契数列。这个数列有一个很明显的特征，第0项为0，第1项为第一个1，数列从第2项开始每个数字都是前二项之和。有趣的是，随着数列数值的增加，前一项与后一项之比越来越接近黄金分割的数值 0.618……因此，斐波那契数列也被称为黄金分割数列。

在自然界中，似乎完全没有秩序的植物彼此相隔的距离或叶子的生长，都被斐波那契数列支持着。例如一株树苗生长一年以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。一朵花上的花瓣数量也通常是斐波那契数，如自然界中有1片花瓣的红掌花、牵牛花；2片花瓣的铁海棠、虎刺梅；3片花瓣的铁兰、三角梅（鸢尾花、百合花的花瓣看上去是6片，实际上是两套3片花瓣）；5片花瓣的桃花、梅花；8片花瓣的飞燕草、波斯菊；13片花瓣的瓜叶菊、万寿菊；21片花瓣的紫菀等。

▲花瓣中的斐波那契数列图片来源：csdn.net

黄金比例，这个神秘的词汇常常被赋予深奥而完美的意义，在艺术、建筑和自然界中无处不在。有人指出，达芬奇的名画《蒙娜丽莎》存在大量的黄金比例。如图，从内到外依次连接通过小正方形的四分之一圆弧，得到一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线。如果我们不断增加边长是斐波那契数的正方形，那么“斐波那契螺旋”也将不断向外延伸，而且它的形状将越来越接近“黄金比例螺旋”。(详见九年级“黄金分割”)
本节主要探究斐波那契数列最令人着迷的数字模式。

3斐波那契数列的数字规律

记斐波那契数列为 $\lbrace F_n \rbrace ,F_1=F_2=1,F_n=F_{n-1}+F_{n+1}$ 。

3.1数列通项

思考一：从计数原理出发研究

为了说明方便引入数列 $\lbrace f_n \rbrace ,f_1=F_2,f_n=F_{n+1}(f_0=F_1),f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$ ，斐波那契数列可以作为许多计数问题的解决方案，比如以下的模型都与斐波那契数列同构。

模型1：一步1个或2个台阶的爬n级楼梯；
模型2：如果一个节奏可以包含长度为1的短音节或长度为2的长音节，那么长度为n的节奏有多少个可能?即用11的正方形或12的多米诺骨牌平铺1*n长条

数学术语来表述：有多少种方法将n表示为数字1与2的和。

根据模型3，容易得到

$C_6^0+C_5^1+C_4^2+C_3^3=f_6$
即 $F_{n+1}=f_n=C_n^0+C_{n-1}^1+C_{n-2}^2+……+C_{n/2}^{n/2}$ 为 $F_{n+1}=f_n=C_n^0+C_{n-1}^1+C_{n-2}^2+……+C_{(n-1)/2}^{(n-1)/2}$

模型4：杨辉三角。
以上结论正是隐藏在杨辉三角（帕斯卡三角）里的斐波那契数列！

如 $C_8^0+C_7^1+C_6^2+C_5^3+C_4^4=F_{n+1}=f_9$

思考二：从代数运算出发研究

（I）为什么前一项与后一项之比越来越接近黄金分割的数值 0.618……？

$\dfrac{F_{n+1}}{F_n}=\dfrac{F_n+F_{n-1}}{F_n}=1+\dfrac{F_{n-1}}{F_n}$

$假设n\rarr\infty,\dfrac{F_{n+1}}{F_n}\rarr\phi，则有\phi=1+\dfrac{1}{\phi}，即\phi=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}(\phi>0)。$
（II）斐波那契数列的通项公式

$F_{n+1}=F_n+F_{n-1},设F_{n+1}-sF_n=t(F_n-sF_n-1),则有，s+t=1,st=-1$
$s,t为方程x^2-x-1=0的两个根。$
$F_{n+1}-sF_n=t^{n-1}(F_2-sF_1)=t^n,同理F_{n+1}-tF_n=s^n$
$所以F_n=\dfrac{t^n-s^n}{t-s}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}((\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2})^2)$

3.2数列求和

                           1  =  1  =  2-1
                         1+1  =  2  =  3-1
                       1+1+2  =  4  =  5-1
                     1+1+2+3  =  7  =  8-1
                   1+1+2+3+5  = 12  =  13-1
                 1+1+2+3+5+8  = 20  =  21-1
              1+1+2+3+5+8+13  = 33  =  34-1

一般地，是否有 $F_1+F_2+F_3+…+F_n=F_{n+2}-1$ ?
将每一项替换为两个斐波那契数之差裂项错位相消，得
$F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=$
$F_1+(F_3-F_1)+(F_4-F_2)+…+(F_{n-1}-F_{n-3})+(F_n-F_{n-2})+(F_{n+1}-F_{n-1})=F_{n+2}-1$
$推论1:F_2+F_4+…+F_{2n}=F_{2n+1}-1$
$推论2:F_1+F_3+…+F_{2n-1}=F_{2n}$